>>

Геометрия: 5-11 класс

Новости школы

Групповой чат

  • Все курсы
  • Главная
  • Войти
  • Регистрация
Все курсы Геометрия: 5-11 класс Четырехугольник

Четырехугольник

Четырехугольник: определения и видыСвойства углов и сторонЧетырехугольник и окружностьФормулы для четырехугольника

Четырехугольник: определения и виды

Четырёхугольник - это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три точки не лежат на одной прямой.

Определения для четырехугольника

  • Данный четырёхугольник обозначается ABCD.
  • Точки A, B, C, D называются его вершинами, а отрезки AB, BC, CD, DA – его сторонами.
  • Смежные стороны – соседние стороны, имеющие общую вершину. Пары смежных сторон: AB и AD, AB и BC, BC и CD, CD и AD.
  • Противолежащие стороны – несмежные стороны, не имеющие общих вершин. Пары противолежащих сторон: AB и CD, BC и AD.
    Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. AC и BD – диагонали четырехугольника ABCD.

Четырехугольники бывают выпуклые, если они расположены в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит одну из его сторон (ABCD) и невыпуклые (A1B1C1D1).

Если любые две противолежащие точки выпуклого четырёхугольника соединить между собой отрезком, то весь отрезок будет лежать внутри многоугольника. Для невыпуклого четырёхугольника это не выполняется (рисунок ниже).

Диагонали выпуклого четырёхугольника лежат внутри него и пересекаются. Одна из диагоналей невыпуклого четырёхугольника лежит снаружи, а другая внутри него, и эти диагонали не пересекаются.

 

Виды четырехугольников:

Если рассмотреть схему, то каждый следующий четырехугольник обладает всеми свойствами предыдущего.  Поэтому запоминать надо совсем немного.

Трапеция - это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие не параллельны. Трапеции бывают: произвольная, равносторонняя, прямоугольная.

Параллелограмм - это четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны. В параллелограмме:
- противоположные стороны и противоположные углы равны.
- диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
Соответственно, если  четырехугольник обладает этими свойствами, то он является параллелограммом.

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому обладает всеми его свойствами.

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб является частным случаем параллелограмма, поэтому обладает всеми его свойствами. В ромбе:
- противоположные углы равны,
- диагонали точкой пересечения делятся пополам,
- диагонали взаимно перпендикулярны,
- диагонали ромба являются биссектрисами углов.

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат является частным случаем прямоугольника и частным случаем ромба, поэтому обладает всеми их свойствами. В квадрате:
- все углы равны 90 градусов,
- диагонали точкой пересечения делятся пополам,
- диагонали взаимно перпендикулярны,
- диагонали  являются биссектрисами углов,
- диагонали равны.

Свойства углов и сторон четырехугольника

Свойства углов четырехугольника

  • Сумма углов четырёхугольника равна 360°
  • Сумма внешних углов четырехугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
  • Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
  • Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов.

Свойства сторон четырехугольника

  • Каждая сторона четырехугольника меньше суммы всех его других сторон.
  • Сумма диагоналей меньше его периметра.

Диагонали четырехугольника

  • Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются в одной точке.
  • Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
  • Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.

Четырехугольник и окружность

Четырехугольник вокруг окружности

  • Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.
  • В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны (AB+CD=AD+BC).
  • Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Четырехугольник внутри окружности

  • Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной.
  • Вокруг четырёхугольника можно описать окружность, если сумма двух его противоположных углов равна 180°.
  • Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.
  • Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон (AC*BD=AB*CD+AD*BC).

Частные случаи:

  • Параллелограмм, вписанный в окружность – это прямоугольник, центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.
  • Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
  • Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.

Формулы для четырехугольника

Периметр четырёхугольника равен сумме длин всех его сторон:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле: 

где d1 и d2— диагонали четырёхугольника, a — угол между диагоналями.

Площадь вписанного четырёхугольника может быть вычислена по формуле:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p=(a+b+c+d)/2 – его полупериметр.

Площадь описанного четырёхугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: